接力赛换两个人跑位就是另一种安排——「排好顺序」的方法数，每个位置依次减 1，乘起来就是 A(n,k)。
学校 4×100 米接力，4 名选手的棒次（谁跑第几棒）就是「顺序」：小明跑第 1 棒是一种安排，小明跑第 2 棒是另一种——换两个人的位置，就是新的排列。这就是「顺序有关系」。
从 4 人（甲乙丙丁）里选 3 人当班长、副班长、宣传委员：第 1 个位置（班长）4 种选法，第 2 个位置 3 种（班长不能再用），第 3 个位置 2 种 → 4 × 3 × 2 = 24 种。数学上把「从 n 个里选 k 个按顺序排好」叫做排列，方法数记作 A(n,k)，公式 A(n,k) = n × (n−1) × … × (n−k+1)（一共 k 个因子）。
把 n 个全部排成一列叫全排列，数 = n × (n−1) × … × 2 × 1，记作 n!（n 的阶乘）。3 个人排队 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 种。
4 人（甲乙丙丁）选 3 人当班长、副班长、宣传委员。三个职位不一样：甲当班长、乙当副班长，和甲当副班长、乙当班长，是两种不同的安排——顺序有关系，所以用排列数 A(4,3)。
// 手推：一个位置一个位置填 第 1 个位置（班长）：4 人选 1 → 4 种 第 2 个位置（副班长）：剩 3 人选 1 → 3 种（班长不能再当） 第 3 个位置（宣传委员）：剩 2 人选 1 → 2 种 → A(4,3) = 4 × 3 × 2 = 24 种 // 一般公式：A(n,k) = n × (n−1) × … × (n−k+1)，一共 k 个因子 A(4,3) = 4 × 3 × 2 = 24 // 3 个因子，从 4 降到 2 A(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 // 3 个因子，从 5 降到 3 A(10,2) = 10 × 9 = 90 // 2 个因子 A(4,4) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 // 选 4 个排 4 列 = 全排列 4! // 两个约定：A(n,1) = n（只选 1 个排 1 列，就是选 1 个）；A(n,n) = n!
3 个人（A、B、C）排成一排照相：第 1 位 3 种、第 2 位 2 种、第 3 位 1 种 → 3 × 2 × 1 = 6 种。把 3 个全部排好叫全排列，数写作 3!（读「3 的阶乘」）。动手枚举一遍，正好 6 种：
// 枚举 3 人全部 6 种站法（固定第 1 位，再排后面两位） A B C A C B B A C B C A C A B C B A // 阶乘速查表（常用值，建议记住前 5 个） 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5040 // 规定：0! = 1（先记住，后面 A(n,0) = 1 会用到它） // 阶乘长得飞快：10! = 3,628,800；13! ≈ 62 亿， // 已经超过 C++ int 上限（2,147,483,647 ≈ 21 亿）→ 大数要用 long long
if 过滤枚举 3 人全部 6 种排队，理解「过滤保证每个人只出现一次」。思路：让 3 个位置都从 {A,B,C} 里独立选，一共 3×3×3 = 27 种组合；再用一个 if 把「同一个人占了两个位置」的 21 种过滤掉，剩下的 6 种恰好是 3! 。
// 枚举 A B C 三人全部 6 种排队 char p[3] = { 'A', 'B', 'C' }; int cnt = 0; for (int i = 0; i < 3; i++) // 第 1 位：3 人选 1 for (int j = 0; j < 3; j++) // 第 2 位：3 人选 1 for (int k = 0; k < 3; k++) { // 第 3 位：3 人选 1 // 三个人两两不同，才算合法排队 if (p[i] != p[j] && p[j] != p[k] && p[i] != p[k]) { cnt++; cout << cnt << ": " << p[i] << p[j] << p[k] << endl; } } // 输出恰好 6 行 = 3!： // 1: ABC 2: ACB 3: BAC // 4: BCA 5: CAB 6: CBA
p[i] != p[k]，会输出哪种「有人重复」的排队？举个例子。③ 想枚举「3 人选 2 人排队」（A(3,2)），代码怎么改？p[i] != p[k] 后，第 1、3 位相同不再被拦，会输出 A B A（A 出现了两次）。③ 只留两层循环（i、j）+ if (p[i] != p[j])，输出 p[i]、p[j]，共 A(3,2) = 3×2 = 6 种。
if 里必须检查所有两两组合：(i,j)、(j,k)、(i,k) 三个条件一个都不能少。只查相邻位置（i≠j、j≠k）会漏掉「隔位重复」的 A B A。// 计算 A(n,k)：从 n 开始连乘 k 个「逐个减 1」的因子 int A(int n, int k) { int res = 1; for (int i = 0; i < k; i++) // 乘 k 个因子：n, n-1, ..., n-k+1 res *= (n - i); return res; } A(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 A(4,3) = 4 × 3 × 2 = 24 A(10,2) = 10 × 9 = 90 // 应用题：一排 3 个方格，用红/绿/蓝 3 种颜色涂， // 每格 1 色且 3 格颜色互不相同，有多少种涂法？ // 第 1 格：3 种；第 2 格：2 种；第 3 格：1 种 → A(3,3) = 3! = 6 种 // 枚举：红绿蓝、红蓝绿、绿红蓝、绿蓝红、蓝红绿、蓝绿红
for (int i = 1; i <= k; i++) res *= (n - i); 会从 n−1 开始乘，整组因子差一位，算出来是 (n−1)×(n−2)×…——第一个因子必须是 n 本身，所以用 n - i（i 从 0 开始）。// 输入：n, k（1 ≤ k ≤ n ≤ 13，结果用 long long 防溢出） // 输出：① A(n,k) 的值 ② 若 n ≤ 3，把 n 个元素的全排列全列出来 // 示例：输入 4 3 → A(4,3) = 24 // 示例：输入 3 2 → A(3,2) = 6，并列出 3 的全排列 6 种 #include <iostream> using namespace std; int main() { int n, k; cin >> n >> k; long long res = 1; for (int i = 0; i < k; i++) // 连乘 k 个递减因子 res *= (n - i); cout << "A(" << n << "," << k << ") = " << res << endl; if (n <= 3) { // n 小就演示全排列 char p[] = { 'A', 'B', 'C' }; int cnt = 0; if (n == 1) { cout << "1: A" << endl; } else if (n == 2) { cout << "1: AB" << endl; cout << "2: BA" << endl; } else { // n == 3：三重循环 + 两两不等 for (int i = 0; i < 3; i++) for (int j = 0; j < 3; j++) for (int m = 0; m < 3; m++) if (i != j && j != m && i != m) { cnt++; cout << cnt << ": " << p[i] << p[j] << p[m] << endl; } } } return 0; } // 动手验证：输入 5 3 → A(5,3) = 60（不枚举） // 输入 2 2 → A(2,2) = 2 + 1: AB / 2: BA