组合：顺序没关系的计数

💡 打个比方

甲乙丙三人合影：拍出来是「甲乙丙」还是「丙甲乙」？照片里还是同样三个人——换位置还是同一张照片。这种「只看谁在框里、不看顺序」的计数叫组合，数记作 C(n,k)。

怎么算？先按排列数：4 人选 3 人去值日（不分工），先「排」1、2、3 号位：A(4,3) = 4×3×2 = 24；可同一组 3 个人可以排出 3! = 6 种「站位」，它们其实是同一组。所以组数要把排列数除以 k!：C(4,3) = 24 ÷ 6 = 4 组——枚举验证：甲乙丙、甲乙丁、甲丙丁、乙丙丁，正好 4 组。

公式：C(n,k) = A(n,k) ÷ k!。「除以 k!」的直觉：同一组 k 个人有 k! 种站位，排列把它们全数了一遍，除以 k! 就只留「组」了。

🖼️ 大图看明白

💻 完整代码：组合计算器（算 C(n,k) = A(n,k) ÷ k!，小例子枚举，算握手）

// 输入：n, k（1 ≤ k ≤ n ≤ 13，结果用 long long 防溢出）
// 输出：① A(n,k) 和 C(n,k) = A(n,k) ÷ k!（展示过程）
//       ② n 人两两握手总次数 = C(n,2) = n × (n − 1) ÷ 2
//       ③ 若 n == 4 且 k == 2，枚举全部 C(4,2) 对（A B C D 代表 甲乙丙丁）
// 示例：输入 4 2 → A(4,2) = 12, C(4,2) = 6，列出 6 对，握手 6 次
#include <iostream>
using namespace std;

long long A(int n, int k) {       // 排列：k 个递减因子连乘
    long long res = 1;
    for (int i = 0; i < k; i++)
        res *= (n - i);
    return res;
}

long long fact(int x) {           // 阶乘：x! = 1 × 2 × … × x
    long long res = 1;
    for (int i = 2; i <= x; i++)
        res *= i;
    return res;
}

long long C(int n, int k) {       // 组合 = 排列 ÷ k!（整数除法）
    return A(n, k) / fact(k);
}

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    cout << "A(" << n << "," << k << ") = " << A(n, k) << endl;
    cout << "C(" << n << "," << k << ") = " << A(n, k)
         << " ÷ " << fact(k) << " = " << C(n, k) << endl;
    cout << n << " 人两两握手 = C(" << n << ",2) = "
         << C(n, 2) << " 次" << endl;

    if (n == 4 && k == 2) {       // 小例子：枚举全部对
        char p[] = { 'A', 'B', 'C', 'D' };
        int cnt = 0;
        for (int i = 0; i < 4; i++)
            for (int j = i + 1; j < 4; j++) { // j 从 i+1 起：固定顺序，不重不漏
                cnt++;
                cout << cnt << ": " << p[i] << p[j] << endl;
            }
    }
    return 0;
}
// 动手验证：输入 5 2 → A(5,2) = 20, C(5,2) = 10, 握手 10 次
// 输入 6 3 → A(6,3) = 120, C(6,3) = 20, 握手 15 次

✋ 你来试试